ב-#שרשור_תורת_המשחקים הקודם הכרנו את משפחת משחקי העומסים[1], והבטחנו להסביר מדוע הם כ"כ מיוחדים ומעניינים. בשביל זה נצטרך לדבר על מושג אחר בתורת המשחקים, שנקרא פוטנציאל:
twitter.com/OmerMadmon/status/1618159468130471936
מושג הפוטנציאל הוצג במאמר משנת 96 ע"י דב מונדרר ולויד שפלי[2], והוא מוגדר כך: אנחנו אומרים שלמשחק מסוים יש פוטנציאל מדויק אם קיימת פונקציה יחידה (שנקראת פונקציית הפוטנציאל) שמסוגלת לבטא במדויק את התמריץ של כל אחד מהשחקנים לעבור מפעולה אחת לאחרת[3].
למעשה הגדרנו כאן משפחה חדשה של משחקים – משחקי פוטנציאל. כעת נשאר לנו להבין:
א. למה משחקי פוטנציאל בכלל מעניינים?
ב. מה הקשר בין משחקי פוטנציאל למשחקי עומסים?
אז הסיבה שמשחקי פוטנציאל הם מעניין היא שמתקיימים בהם שני דברים "טובים":
הדבר הראשון הוא שתמיד קיים שיווי משקל טהור (כלומר שיווי משקל שבו אף שחקן לא משחק אסטרטגיה מעורבת שבה הוא בוחר פעולות שונות באופן הסתברותי), והדבר השני הוא שכל דינמיקת "תגובת טובה יותר" מתכנסת לשיווי משקל טהור. מה הכוונה?
נניח שהתחלנו מפרופיל אסטרטגיות מסוים. אחד השחקנים שינה את פעולתו לפעולה טובה יותר, ואח"כ שחקן אחר שינה את פעולתו לפעולה טובה יותר, וכך הלאה. כל דינמיקה מהסוג הזה תתכנס לשיווי משקל טהור!
הסיבה לכך היא שאם נסתכל על סדרת הפוטנציאלים של הפרופילים שמתקבלים מהתהליך הזה, היא בהכרח מתכנסת למקסימום לוקאלי של פונקציית הפוטנציאל, כלומר לנקודה שבה אף שחקן לא יכול לשפר את מצבו – וזה בדיוק שיווי משקל נאש.
ומה הקשר למשחקי עומסים? אז קודם כל, כל משחק עומסים הוא משחק פוטנציאל, ואפשר לבנות בצורה די ישירה את פונקציית הפוטנציאל של משחק עומסים נתון כלשהו. הדבר היותר מעניין הוא שגם הכיוון ההפוך נכון – כל משחק פוטנציאל הוא משחק עומסים (ליתר דיוק: אפשר לנסח כל משחק פוטנציאל כמשחק עומסים).
כלומר, קיימת שקילות בין משחקי פוטנציאל למשחקי עומסים, ולכן בפרט אם עומד בפנינו משחק עומסים שמגיע מאיזשהו יישום מעניין (כמו שראינו כאן[1]), אז אנחנו יודעים שכל התכונות ה"טובות" של משחקי פוטנציאל תקפות!
ונקודה אחרונה, למה בכלל התכונות האלה הן טובות? ובכן, דינמיקות "תגובה טובה ביותר" הן מאוד נפוצות בחיים האמיתיים: תארו לכם שאתם למשל מנהלי שיווק שמתחרים על אותם לקוחות מול חברות אחרות. אתם תריצו איזשהו קמפיין שיביא כמה שיותר לקוחות, ולאחר מכן המתחרים ישנו את הקמפיין שלהם בהתאם>
כדי להשיג בעצמם יותר לקוחות, ואז אתם תגיבו בחזרה וכן הלאה. אם המשחק הנדון הוא משחק עומסים/פוטנציאל, אז אנחנו יודעים שהדינמיקה הזו תתכנס לשיווי משקל טהור, שבו קל לנו להגיד בוודאות כיצד המערכת מתייצבת.
לעומת זאת, בשיווי משקל מעורב אנחנו יודעים שתוצאות מסוימות יקרו בהסתברות כזאת או אחרת, אבל קשה לנו לטעון איך תיראה המערכת ברגע נתון, וזה בדיוק מה ששיווי משקל טהור מאפשר לנו לעשות.
בונוס: יכולים לחשוב על משחק שאין לו פוטנציאל?
מקורות:
[1] twitter.com/OmerMadmon/status/1618159468130471936
[2] sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0899825696900445?via%3Dihub
[3] en.wikipedia.org/wiki/Potential_game